Hallo, in dieser Einheit werden wir uns mit unserer praktischen Aufgabe beschäftigen und wir beginnen mit der ersten Aufgabe, die lautet

Wann ist eine Folge nicht monoton? Also wir sollen das jetzt hier mathematisch qualifizieren. Naja, nicht monoton bedeutet, dass die Negierung von monoton

und eine Folge ist monoton, jetzt leg ich mich fest, steigend, falls für alle n Element n gilt, dass a n plus eins größer

gleich a n ist. Und natürlich gilt das gleiche jetzt hier für fallend, wenn hier ein kleiner gleich dran steht. Was ist also die Negierung von monoton steigend?

Monoton steigend heißt also das Gegenteil von steigend, also das bedeutet, das ist die Negation, ich weiß nicht welche Notations die genau im ersten Semester benutzt haben, aber ich werde jetzt

zum folgenden das hier als nicht bezeichnen, also dieses, ich sag jetzt mal, gespiegelte L. Die Negation dieser Aussage ist also, also ich soll das gleich hinschreiben, a n, diese Folge a n ist nicht monoton steigend, wenn, als erstens müssen wir die

Quartoren umdrehen, aus alle Quartoren Existenzquartore machen, umgekehrt, das heißt, wenn ein, also natürlich die Negation von dem was hier umdrehen steht, das soll ich nachher hinschreiben, also für alle n Element n gilt, dass a n plus eins größer gleich a n ist.

So weit klar, das ist gleichbedeutend damit, jetzt müssen wir anfangen es umzudrehen, ein n Element n existiert, so dass, und jetzt müssen wir die Aussage negieren, die hinter den Quartoren steht, so dass a n plus eins kleiner a n ist.

Das ergibt Sinn, eine Folge ist nicht monoton steigend, wenn es ein Index gibt, bei dem sie einmal abfällt, ein Gegenbeispiel benötigt uns hier, genauso ist a n nicht monoton fallend, genau dann, wenn ein n existiert, so dass a n plus eins größer als a n ist.

Das bedeutet, eine Folge ist überhaupt nicht monoton, weder fallend noch steigend, genau dann, wenn beides der Fall ist, also wenn n 1 und n 2 existieren,

so dass a n 1 plus eins kleiner a n 1 ist und a n 2 plus eins größer a n 2.

Also es gibt ein Index, nachdem die Folge einmal abfällt und es gibt ein Index, nachdem die Folge einmal ansteigt, das ist dann bereits ein nicht monotones Folge.

Alles klar, b wir wollen auf monotonie überprüfen, zwei folgen a n und b n mit a n ist gleich n durch n plus eins und b n ist gleich eins plus minus eins hoch n durch root n.

Nun, monotonie, wir haben hier schon so eine leichte Vermutung, dass es hier monoton sein könnte, aber dass es hier ploppen würde, das sieht folgendermaßen aus,

wir n gleich eins, dann haben wir hier ein halb, dann zwei drittel, dann drei viertel, dann vier fünfte und so weiter, das nähert sich also jetzt hier so von unten der eins an, das sieht schon so aus, als wäre es eine monotone Folge, das heißt wir wollen euch gerne zeigen, dass es eine monoton steigende Folge ist.

Das heißt wir haben hier die Vermutung, a n ist monoton steigend. Wir müssen uns also a n plus eins minus a n anschauen oder a n plus eins durch a n.

Jetzt tun wir es so, als wüsste ich nicht bereits, was die richtige Lösung ist, was das richtige Lösungstück wäre, das heißt, Versuch a n plus eins geteilt durch a n.

Wenn wir zeigen können, dass dieser Bruch, dieser Quotient kleiner eins ist, dann haben wir eine monoton steigende Folge und wenn wir eine, wenn das hier größer eins ist, dann haben wir eine monoton steigende Folge.

Natürlich nur wenn a n plus eins oder a n positiv sind. Also wenn a n, das hier ist eine positive Folge natürlich, die steht nur aus positiven Folgengliedern, da können wir das mit diesen Quotienten machen.

Was ist das hier? Das ist n plus eins durch n plus zwei geteilt durch n durch n plus eins.

Das ist jetzt n plus eins Quadrat geteilt durch n mal n plus zwei.

Ob das jetzt größer oder kleiner ist, das ist jetzt gar nicht so einfach zu sehen, ist also eher eine Sackgasse. Das heißt, wir schauen uns lieber die Differenz von beiden an.

a n plus eins minus a n ist n plus eins geteilt durch n plus zwei minus n durch n plus eins.

Das müssen wir jetzt auf den gleichen Nenner bringen, um die beiden Terme miteinander verrechnen zu können. Das heißt, wir erweitern den ersten Term mit n plus eins.

n plus eins Quadrat minus, also wir wollen das Ganze jetzt auf einen gleichen Bruch bringen mit n plus zwei mal n plus eins hier im Nenner.

Und den zweiten Term müssen wir erweitern mit dem ersten Term, also n plus zwei.

Das können wir jetzt ausmultiplizieren. Das ist n Quadrat plus zwei n plus eins minus n Quadrat plus zwei n geteilt durch was hier im Nenner steht.

Und das wiederum ist, jetzt kürzen sich hier alle Terme weg bis auf die eins. Das ist eins geteilt durch n plus zwei n plus eins.

Und das hier ist offenbar immer größer als Null. Das bedeutet, die Folge a n ist tatsächlich monoton steigend.

Dann die zweite Folge. b n, ich schreibe es noch einmal kurz hin. b n hat die Form, b n ist gleich eins plus minus eins hoch n geteilt durch Wurzel aus n.

Und diese Form, die liegt schon so ein bisschen nahe, dass wir es hier nicht in Quotienten anschauen sollten.

Und deswegen schauen wir uns gleich mal die Differenz hier an. b n plus eins minus b n ist eins plus minus eins hoch n plus eins geteilt durch Wurzel aus n plus eins minus eins plus minus eins hoch n geteilt durch Wurzel n.

Die eins verschwindet und stehen bleibt. Minus eins hoch n plus eins durch Wurzel n plus eins minus minus eins hoch n.

Das ist also das gleiche wie plus minus eins hoch n plus eins geteilt durch Wurzel aus n.

Das heißt, das ist minus eins hoch n plus eins ist klarer als aus eins durch Wurzel n plus eins plus eins durch Wurzel aus n.

Das hier ist immer größer als Null und das hier ist abwechselnd plus eins und minus eins.

Das bedeutet, wir sind jetzt genau in dem Setting von hier.

Für ungerade oder gerade, das müssen wir uns jetzt kurz überlegen.

Also wenn n gerade geradsahlig ist, dann ist minus eins hoch n plus eins gleich minus eins. Das heißt b n plus eins minus b n ist kleiner als Null.

Wenn n ungerade ist, ist das genau umgekehrt. Da ist dann b n plus eins minus b n größer als Null.

Das zeigt uns, wir können insbesondere zwei n1 und n2 finden. N1 muss ein beliebiger gerade Index sein und n2 muss ein beliebiger ungerader Index sein.

Dann haben wir das hier gezeigt und damit haben wir gezeigt, dass diese Folge hier nicht monoton ist.

Das heißt die erste Folge war monoton steigen, die zweite war weder monoton steigen noch monoton fallen. Sie ist alternierend, könnte man sagen.

Die nächste Aufgabe ist, wir wollen die Konvergenz dieser beiden Folgen und Zwangschancen.

Das heißt konvergieren sie, konvergieren sie nicht und so weiter.

Wir beginnen wieder mit n durch n plus eins und wir hatten vorhin bereits geraden durch St. Clemens hinschauen, dass das hier wohl gegen eins konvergiert.

Das stellen wir jetzt als Vermutung auf. a n konvergiert für n gegen unendlich gegen eins.

Das müssen wir jetzt zeigen. Das heißt zu zeigen ist, für alle noch so kleine Epsilon größer Null existiert ein Null, das von Epsilon abhängen darf.

So dass für alle n nach diesem Index n Null gilt, dass a n minus eins kleiner gleich Epsilon ist.

Das wollen wir jetzt zeigen. Wenn wir so etwas zeigen wollen mit dieser Abfolge von Quartoren und Aussagen,